Последовательности

Основные понятия, относящиеся к последовательностям

1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {an} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an}: n®an .

Ограниченность сверху. $ b "nÎN: an £ b. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у ней существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. $a "nÎN: an ³ a. Существует нижняя грань.

Ограниченность. $c "nÎN: |an| £ c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)n}, sin n,

Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:

"nÎN: xn £ b ( b есть верхняя грань )

"e>0 $nÎN: xn > b - e ( никакое меньшее число не является верхней гранью )

Аналогично определяется inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b ¹ sup {xn}.

b ¹ sup {xn} означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом, выполнено

или отрицание 1), или отрицание 2).

Другими словами:

или

$nÎN: xn > b

или

  2) $e>0"nÎN: xn £ b - e

Монотонно возрастающая последовательность {an} .

"nÎN: an £ an+1

Строго монотонно возрастающая последовательность {an}.

"nÎN: an < an+1.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей

*влетела на крылышках пьянки*
Всем большой...Ыыыыыхххх...Привет.
*забралась на шкаф и зевает*
Так-так, а теперь подарочки...
*скинула Касе на коленки ноут с ЮЭСБИ-мадемам*

Привет

еоремы о пределах последовательностей

1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей

Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не нарушает сходимости последовательности и величины ее предела.

Т1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел

Т2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: . Возьмем e=1 по определению предела для него $N"n>N:a-1<xn<a+1. В таком случае для числа b=max{|x1|,…,|xN|,|a-1|,|a+1|} будет выполнено "n:|xn|<b.

Т3. (О трех последовательностях)

Т4.

Следствие 1.

Следствие 2.

Замечание. 

Не заметил? Ты же мне помогаешь!
Обхохочешься.
*пьёт водку*

Для последовательности xn= получим


.

Для n+1 будет, соответственно,

+

.

При переходе от n к n+1 каждое слагаемое в этой сумме увеличивается и растет их общее число, поэтому xn<xn+1. Каждая скобка <1 и , поэтому

. Монотонно возрастающая ограниченная последовательность сходится к некоторому числу, которое обозначается e. Это трансцендентное число называется числом Эйлера e=2.718281828459045…

екоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение. Дана последовательность {xn} и последовательность натуральных чисел {nk}, 1£ n1<n2<…< nk <nk+1<…, тогда последовательность {yk}, называется подпоследовательностью последовательсти {xn}.

Пример:  xn= sin n, nk=2k, = sin 2k.

Замечание. Отметим, что из условия nk < nk+1 следует, что k ³ nk (индукция по k) .

Теорема 1. Если (a - число или символ), то для любой ее подпоследовательности {yk}, ,будет .

Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов {xn}, следовательно, и конечное число подпоследовательности {}.

Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть [a,b]É {xn}.

Разделим отрезок [a,b] пополам, обозначим [a1,b1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a1,b1], его индекс обозначим n1.

Разделим отрезок [a1,b1] пополам, обозначим [a2,b2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a2,b2] и имеющий индекс больший, чем n1, его индекс обозначим n2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность . Система отрезков [ak,bk] представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков ( bk-ak=(b-a)/2k). Общую точку обозначим c. Так как cÎ[ak,bk], то . Откуда следует, что  (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).

Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе ±¥)

Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много.

Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn} имеет своим частичным пределом любое вещественное число.

Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {xn}.

Следствие. Если некоторая окрестность a содержит конечное число членов последовательности, то a не является частичным пределом.

Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный)

Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом ¥ используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть , тогда . Условие nk> nk-1 можно обеспечить используя то, что в любой окрестности +¥ имеется бесконечно много членов последовательности.

Больной. Конкретно мозги вместе с телом утратил. Безвозвратно.

Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности.

Условие Коши:"e>0$N"n>N"p:|xn+p - xn|<e

Определение. Фундаментальною последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Т. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть e>0 . Для e¢=e/2$N"n>N:|xn -a|<e/2 для тех же n (n>N) и "p будет выполнено |xn+p -a|< e/2. Таким образом, для "n>N"p:|xn+p - xn|£ |xn+p - a|+|a - xn| < e/2+e/2=e.

  Достаточность. Пусть e >0. Для

e¢=e/2$N1"n>N1"p:|xn+p - xn|<e/2 (1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера N1+1 оказались в окрестности числа  , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , пусть . Для ранее выбранного e¢

(2).

Выберем натуральное число m так, чтобы m >K и m > N1, тогда число N=nm будет больше N1 и, согласно (1)

"n>N:|xn - xN|<e/2 , (3)

с другой стороны из (2)

(4)

Из (3), (4) получим, что при n >N будет выполнено

|xn-a|< ч.т.д.

Лера Ранетка
Тоже мне отличница... не можешь 2 ошибки найти... 2 балла.. иди гуляй, работай уборщицей.. может быть заработаешь на бутылочку гнилой водочки.

оследовательности Свойства последовательностей

Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями

Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число.

Последовательность an называется бесконечно малой (б.м.), если .

Последовательность an называется бесконечно большой (б.б.), если

1) {an} б.м. Þ |an| б.м.

2) {an+bn} б.м. , если an , bn б.м.

Следствие. {an+bn+…+gn} б.м. если an , bn ,… б.м.

Определение. Произведением двух последовательностей {xk}, {yk} называется последовательность {xkyk}.

3) б.м. на ограниченную является б.м.

Следствие. Произведение конечного числа б.м. Является б.м..

4) {1/an} б.б., если {an} б.м. an¹0

{1/bn} б.м., если {bn} б.б., bn¹0

5)Ранее отмечалось, что

существование конечного предела равносильно существованию б.м. {an} такой, что .

6)  {xn},{yn} сходятся, то сходится {xn+yn} и

Следствие. Свойство 6) распространяется и на конечные суммы.

Замечание. Свойство 6) нарушается, если хотя бы один из пределов равен ±¥

7) {xn},{yn} сходятся, то сходится {xnyn} и .

Доказательство. 

Следствие 1.Если {xn} сходятся, то сходится {сxn} и

Следствие 2. xn®a Þ

8) xn®a Þ |xn|®|a|

9) xn®a, yn®b, yn¹0, b¹0 Þ

Лемма. Если yn®b, yn¹0, b¹0, то |1/yn| ограничена.

Доказательство:  , тогда для

таким образом,

Доказательство свойства 9)

.

Последовательность по лемме ограничена, последовательность - бесконечно малая.

Линейная лгебра.

Операция умножения матриц. 

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: A×B = C; .  Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. Свойства операции умножения матриц. 1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А×Е = Е×А = А   Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: A×O = O; O×A = O, где О – нулевая матрица.  2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство: (АВ)С=А(ВС).  3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.  4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение: a(AB) = (aA)B = A(aB).  5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство: (АВ)Т = ВТАТ, где индексом Т обозначается транспонированная матрица.   6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB. Что такое det будет рассмотрено ниже.   

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. А = ; В = АТ=; другими словами, bji = aij.  В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что: (ABC)T = CTBTAT, при условии, что определено произведение матриц АВС.

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:  det A = , где (1)   М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.   Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:   det A = ,  (2)  Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:  detA = i = 1,2,…,n. (3) Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1.  Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах. 

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. 

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:   det A = det AT;   

Свойство 2.   det ( A ± B) = det A ± det B. 

Свойство 3.  det (AB) = detA×detB 

Свойство 4.  Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине. 

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число. 

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.) 

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю. 

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 ± d2 , e = e1 ± e2 , f = f1 ± f2 , то верно:

Элементарные преобразования.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

  2) прибавление к одной строке другой строки;

  3) перестановка строк; 

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

  5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ). 

Миноры. Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы. 

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.   Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.  Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения.