Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор
, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.
Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.
Обратная матрица. Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1. Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. Исходя из определения произведения матриц, можно записать: AX = E Þ
, i=(1,n), j=(1,n), eij = 0, i ¹ j, eij = 1, i = j . Таким образом, получаем систему уравнений: 
, Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
Пример. Дана матрица А = 
, найти А-1. 
Таким образом, А-1=. Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу: , где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.
Пример. Дана матрица А = , найти А-1. det A = 4 - 6 = -2. M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1 x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2 Таким образом, А-1=
.
Составим расширенную матрицу системы. А* = 
, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: 
, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1. Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом. Для самостоятельного решения: 
